1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
　　
　　2．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）
　　
　　如判断42559能否被11整除。
　　
　　42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9
　　
　　＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）
　　
　　＋5×（11－1）＋9
　　
　　＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋（4－2＋5－5＋9）
　　
　　＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋（4－2＋5－5＋9）
　　
　　前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。
　　
　　而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。
　　
　　由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍数，故42559是11的倍数。
　　
　　现在要判断7295871是否为11的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是否为11的倍数即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍数，故11|7295871。
　　
　　上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？
　　
　　如867493的奇数位数字和为3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。显然3＋4＋6小于9＋7＋8，即13小于24。
　　
　　遇到这种情况，可在13－24这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。
　　
　　由于13－24＋11＝0，恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。
　　
　　又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为
　　
　　（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24
　　
　　7－24＋11＋11＝5（加了两次11使“够减”）。由于5不能被11整除，故可立即判断738292不能被11整除。
　　
　　实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。
　　
　　同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。
　　
　　如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，
　　
　　象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？
　　
　　如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有较简单的判断办法呢？
　　
　　由于186186＝186000＋186
　　
　　＝186×1000＋186
　　
　　＝186×1001
　　
　　而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。
　　
　　这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。
　　
　　或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。
　　
　　如判断2839704是否是7的倍数？
　　
　　由于2839704＝2839000＋704
　　
　　＝2839×1000＋704
　　
　　＝2839×1001－2839＋704
　　
　　＝2839×1001－（2839－704）
　　
　　∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，所以2839704也不是11（13）的倍数。
　　
　　实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7（11或13）整除即可。
　　
　　又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952－42＝910是否被13整除即可。由于910＝13×70，所以13整除910，
　　
　　3．一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
　　
　　另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。
　　
　　如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为
　　
　　728－546＝182＝7×26＝7×2×13