浙江公务员网指导数学运算之抽屉问题

浙江公务员考试网  www.91test.net  2009-10-28 00:00

《行政职业能力测验》中数量关系部分,有一类比较典型的题——抽屉问题。对许多公考学生来说,这个题型有一定的难度,因为很难通过算式的方式来将其量化。我们知道,公务员考试是测试一个人作为公务员应该具备的最基础的交流、沟通、判断、推理和计算能力。同样,数量关系测试的也不全是个人的运算能力,它更倾向于考察考生的理解和推理能力。抽屉问题就更为显著地贯彻了这一命题思路。
我们先来看三个例子:

(1)3个苹果放到2个抽屉里,那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。

(2)5块手帕分给4个小朋友,那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。

(3)6只鸽子飞进5个鸽笼,那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。

我们用列表法来证明例题(1):
放  法
抽  屉  ①种  ②种  ③种  ④种 
第1个抽屉  3个  2个  1个  0个 
第2个抽屉  0个  1个  2个  3个 
从上表可以看出,将3个苹果放在2个抽屉里,共有4种不同的放法。
第①、②两种放法使得在第1个抽屉里,至少有2个苹果;第③、④两种放法使得在第2个抽屉里,至少有2个苹果。
即:可以肯定地说,3个苹果放到2个抽屉里,一定有1个抽屉里至少有2个苹果。
由上可以得出:
题  号  物  体  数  量  抽屉数  结  果 
(1)  苹  果  3个  放入2个抽屉  有一个抽屉至少有2个苹果 
(2)  手  帕  5块  分给4个人  有一人至少拿了2块手帕 
(3)  鸽  子  6只  飞进5个笼子  有一个笼子至少飞进2只鸽 
上面三个例子的共同特点是:物体个数比抽屉个数多一个,那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。从而得出:
抽屉原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
再看下面的两个例子:
(4)把30个苹果放到6个抽屉中,问:是否存在这样一种放法,使每个抽屉中的苹果数都小于等于5?
(5)把30个以上的苹果放到6个抽屉中,问:是否存在这样一种放法,使每个抽屉中的苹果数都小于等于5?
解答:(4)存在这样的放法。即:每个抽屉中都放5个苹果;(5)不存在这样的放法。即:无论怎么放,都会找到一个抽屉,它里面至少有6个苹果。
从上述两例中我们还可以得到如下规律:
抽屉原理2:把多于m×n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
可以看出,“原理1”和“原理2”的区别是:“原理1”物体多,抽屉少,数量比较接近;“原理2”虽然也是物体多,抽屉少,但是数量相差较大,物体个数比抽屉个数的几倍还多几。
以上两个原理,就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话:有多少个苹果,多少个抽屉,苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准“抽屉”,只有“抽屉”找准了,“苹果”才好放。
我们先从简单的问题入手:

(1)3只鸽子飞进了2个鸟巢,则总有1个鸟巢中至少有几只鸽子?(答案:2只)

(2)把3本书放进2个书架,则总有1个书架上至少放着几本书?(答案:2本)

(3)把3封信投进2个邮筒,则总有1个邮筒投进了不止几封信?(答案:1封)

(4)1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢,它里面至少含有几只鸽子?(答案:1000÷50=20,所以答案为20只)

(5)从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了几个苹果?(答案:17÷8=2……1,2+1=3,所以答案为3)

(6)从几个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果?(答案:25÷□=6……□,可见除数为4,余数为1,抽屉数为4,所以答案为4个)
抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面(1)、(2)、(3)题,讲的就是这些原理。上面(4)、(5)、(6)题的规律是:物体数比抽屉数的几倍还多几的情况,可用“苹果数”除以“抽屉数”,若余数不为零,则“答案”为商加1;若余数为零,则“答案”为商。其中第(6)题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。
抽屉问题的用处很广,如果能灵活运用,可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手,实际上却是相当有趣的数学问题。

【例题1】:某班共有13个同学,那么至少有几人是同月出生?( )
A. 13 B. 12 C. 6 D. 2
【解析】:找准题中两个量,一个是人数,一个是月份,把人数当作“苹果”,把月份当作“抽屉”,那么问题就变成:13个苹果放12个抽屉里,那么至少有一个抽屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理1”】 

【例题2】某班参加一次数学竞赛,试卷满分是30分。为保证有2人的得分一样,该班至少得有几人参赛?( )
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
【解析】毫无疑问,参赛总人数可作“苹果”,这里需要找“抽屉”,使找到的“抽屉”满足:总人数放进去之后,保证有1个“抽屉”里,有2人。仔细分析题目,“抽屉”当然是得分,满分是30分,则一个人可能的得分有31种情况(从0分到30分),所以“苹果”数应该是31+1=32。【已知苹果和抽屉,用“抽屉原理2”】

【例题3】 在某校数学乐园中,五年级学生共有400人,年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁,我们不用去查看学生的出生日期,就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的,你知道为什么吗?
【解析】因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁,所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天,把400名学生看作400个苹果,366天看作是366个抽屉,(若两名学生是同一天出生的,则让他们进入同一个抽屉,否则进入不同的抽屉)由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果,一定能找到一个抽屉,它里面至少有2(400÷366=1……1,1+1=2)个苹果”。即:一定能找到2个学生,他们是同年同月同日出生的。

【例题4】有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸,(1)你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的?为什么?(2)至少拿几根,才能保证有两双同色的筷子,为什么?
【解析】把3种颜色的筷子当作3个抽屉。则:
(1)根据“抽屉原理1”,至少拿4根筷子,才能保证有2根同色筷子;(2)从最特殊的情况想起,假定3种颜色的筷子各拿了3根,也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子,就有4根筷子是同色的,所以一次至少应拿出3×3+1=10(根)筷子,就能保证有4根筷子同色。

【例题5】证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同。
【解析】将37人看作37个苹果,12个属相看作是12个抽屉,由“抽屉原理2”知,“无论怎么放一定能找到一个抽屉,它里面至少有4个苹果”。即在任意的37人中,至少有4(37÷12=3……1,3+1=4)人属相相同。

【例题6】某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书?
分析:从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到,此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉,将书本看作苹果,如某个同学借到了书,就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。
【解析】将40个同学看作40个抽屉,书看作是苹果,由“抽屉原理1”知:要保证有一个抽屉中至少有2个苹果,苹果数应至少为40+1=41(个)。即:小书架上至少要有41本书。

【例题7】 有红、黄、蓝、白珠子各10粒,装在一个袋子里,为了保证摸出的珠子有两颗颜色 相同,应至少摸出几粒?( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】把珠子当成“苹果”,一共有10个,则珠子的颜色可以当作“抽屉”,为保证 摸出的珠子有2颗颜色一样,我们假设每次摸出的分别都放在不同的“抽屉”里,摸了4 个颜色不同的珠子之后,所有“抽屉”里都各有一个,这时候再任意摸1个,则一定有 一个“抽屉”有2颗,也就是有2颗珠子颜色一样。答案选C。

【例题8】 从一副完整的扑克牌中,至少抽出( )张牌,才能保证至少6张牌的花色相同?
A.21 B.22 C.23 D.24
【解析】完整的扑克牌有54张,看成54个“苹果”,抽屉就是6个(黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王),为保证有6张花色一样,我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张,后两个“抽屉”里各放了1张,这时候再任意抽取1张牌,那么前4个“抽屉”里必然有1个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C。


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