三十一，十字相乘法

　　十字相乘法使用时要注意几点：

　　第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

　　(2007年国考)　某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：

　　A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A

　　分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。

　　男生：Y 9

　　75

　　女生：X 5

　　根据十字相乘法原理可以知道

　　X=84

　　6. (2007年国考).某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：

　　A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人

　　答案：C

　　分析：去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

　　本科生：-2% 8%

　　2%

　　研究生：10% 4%

　　本科生：研究生=8%：4%=2：1。

　　7500*(2/3)=5000

　　5000*0.98=4900

　　此方法考试的时候一定要灵活运用

    三十二，兔子问题

　　An=A(n-1)An(n-2)

　　已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?

　　析：1月:1对幼兔

　　2月:1对成兔

　　3月;1对成兔.1对幼兔

　　4;2对成兔.1对幼兔

　　5;;3对成兔.2对幼兔

　　6;5对成兔.3对幼兔.......

　　可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项

　　为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

　　三十三，称重量砝码最少的问题

　　例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?

　　分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

　　(1)称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

　　(2)称重2克，有3种方案：

　　①增加一个1克的砝码;

　　②用一个2克的砝码;

　　③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

　　(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

　　(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。

　　(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

　　9-(3+1)=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。

　　而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

　　14+13=27(克)，

　　可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。

　　总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

    三十四，文示图

　　红圈： 球赛。 蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。

　　X表示只喜欢球赛的人; Y表示只喜欢电影的人; Z表示只喜欢戏剧的人

　　a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧

　　b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛

　　c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项 不喜欢电影。

　　中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。

　　回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分

　　现在开始对这些部分规类。

　　X+y+z=是只喜欢一项的人 我们叫做 A

　　a+b+c=是只喜欢2项的人 我们叫做B

　　T 就是我们所说的三项都喜欢的人

　　x+a+c+T=是喜欢球赛的人数 构成一个红圈

　　y+a+b+T=是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈

　　z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数 构成一个绿圈

　　三个公式。

　　(1) A+B+T=总人数

　　(2) A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和

　　(3) B+3T=至少喜欢2个的人数和

　　例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。

　　通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。

　　A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12

　　则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的

　　A=64 B=24

　　典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多( )题?

　　A、6 B、5 C、4 D、3

　　【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的

　　我们设a表示简单题目， b表示中档题目 c表示难题

　　a+b+c=20

　　c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的

　　将a+b+c=20变成 2a+2b+2c=40 减去 上面的第2个式子

　　得到： c-a=4 答案出来了

　　可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。三十四，九宫图问题

　　此公式只限于奇数行列

　　步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!

　　步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，

　　最左边的放到最右边，最右边的放到最左边

　　最上边的放到最下边，最下边的放到最上边

　　这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了

　　三十五，用比例法解行程问题

　　行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。

　　在细说之前我们先来了解如下几个关系：

　　路程为S。速度为V 时间为T

　　S=VT V=S/T T=S/V

　　S相同的情况下： V跟T成反比

　　V相同的情况下： S跟T成正比

　　T相同的情况下： S跟V成正比

　　注：比例点数差也是实际差值对应的比例! 理解基本概念后，具体题目来分析

　　例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米 已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少?

　　分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：

　　乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。

　　第一次相遇情况

　　A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B(乙)

　　AC即为第一次相遇 甲行驶的路程。 BC即为乙行驶的路程

　　则看出 AC+BC=AB 两者行驶路程之和=S

　　第2次相遇的情况

　　A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B

　　在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C-B-D，其路程是 BC+BD

　　乙行驶的路线则是C-A-D 其行驶的路程是AC+AD

　　可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，同理第3，4次相遇都是这样。

　　则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S+S=7S

　　根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200=1400

　　因为甲比乙多行驶了280千米 则可以得到 乙是(1400-280)÷2=560 则甲是560+280=840

　　好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即 840÷60=14小时。

　　所以T乙=14小时。 那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40

　　说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。

　　比例求解法：

　　我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，

　　S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)

　　得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40

　　例二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米?

　　A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310

　　【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等

　　160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次数 解得N=3 说明第三次相遇即达到速度相等

　　第一次相遇前： 开始时速度是160：20=8：1 用时都一样，则路程之比=速度之比

　　我们设乙行驶了a千米 则 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30

　　第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用时都一样， 则路程之比=速度之比

　　我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米 则 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70

　　第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用时都一样， 则路程之比=速度之比

　　我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米 则 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210

　　则三次乙行驶了 210+70+30=310千米

　　而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3+310=940

　　则 两人总和是 940+310=1250

　  例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远?

　　【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的 ，则根据路程相同

　　速度比等于时间比的反比

　　即 T30：T40=40：30=4：3

　　所以30千米行驶的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小时

　　即路程是30×2/3=20千米

　　总路程是(20+5)÷1/4=100

　　例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

　　A. 14 B.16 C.112 D.124

　　【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙速度之比=5：4

　　而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙=7：9

　　所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9=35：36

　　说明，乙比甲多出1个比例单位

　　现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7=28个单位 ，事实上乙每4浆才能追上36-35=1个单位，

　　说明28个单位需要28×4=112浆次追上! 选C

　　例五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人?

　　这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法

　　【解析】 根据条件乙队比甲队多了2/9 我们假设甲队是单位1，则乙队就是1+2/9=11/9 ，100人的总数不变

　　可见 甲乙总数是1+11/9=20/9 (分母不看)

　　则100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55

　　因为从甲队掉走1/4 则剩下的是3/4 算出原来甲队是 45÷3/4=60

　　三十六，计算错对题的独特技巧

　　例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题()

　　A 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25题

　　我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6+4=10

　　解释一下6跟4的来源

　　6是做错了不但得不到4分还被扣除2分 这样里外就差4+2=6分

　　4是不答题 只被扣4分，不倒扣分。

　　这两种扣分的情况看着一组

　　目前被扣了30×4-96=24分

　　则说明 24÷10=2组 余数是4

　　余数是4 表明2组还多出1个没有答的题目

　　则表明 不答的题目是2+1=3题，答错的是2题

　　三十七，票价与票值的区别

　　票价是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)

    三十八，两数之间个位和十位相同的个数

　　1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数?

　　从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11

　　方法一：

　　看整数部分1217～2792

　　先看1220～2790 相差1570 则有这样规律的数是1570÷10=157个

　　由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路

　　方法二：

　　我们先求两数差值 2792-1217=1575

　　1575中有多少11呢 1575÷11=143 余数是2

　　大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束

　　我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止

　　商+余数再除以11

　　(143+2)÷11=13 余数是2

　　(13+2)÷11=1 因为商已经小于11，所以余数不管

　　则我们就可以得到个数应该是143+13+1=157

　　不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。 误差应该会在1之间!不过对于考公务员来说 误差为1 已经可以找到答案了!

　　
    三十九，搁两人握手问题

　　某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有( )人

　　A、16 B、17 C、18 D、19

　　【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人

　　
    四十，溶液交换浓度相等问题

　　设两个溶液的浓度分别为A%，B%并且 A>B 设需要交换溶液为X

　　则有：(B-X)：X=X：(A-X)

　　A：B=(A-X)：X

　　典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液?

　　A、36 B、32 C、28 D、24

　　【解析】答案选D 我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60%的溶液 相对于交换过来的a克40%的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即(再设混和后的标准浓度是p)

　　40-a ：a=(P-40% ) ：(60%-P)

　　同理我们对40%的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式：

　　60-a ：a=(60%-P) ：(P-40%)

　　一目了然，两者实际上是反比，即40-a ：a=a ：60-a 解得 a=24 即选D

　　如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。

　　解法二： 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ，60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的x克60%溶液与剩下60-x克40%的溶液比例成反比，则60：40=60-x：x解 X=24克